加法定理を完全マスター！三角関数の基礎から応用問題まで徹底解説

2026年1月21日

加法定理とは何か

三角関数の学習において、加法定理は最も重要な公式の一つです。この定理を理解することで、複雑な三角関数の計算が驚くほど簡単になり、数学の世界がぐっと広がります。高校数学Ⅱで学ぶこの内容は、大学入試でも頻出テーマとなっており、確実にマスターしておきたい単元といえます。

加法定理の定義と意味

加法定理とは、二つの角の和や差の三角関数を、それぞれの角の三角関数で表す公式のことです。具体的には、sin(α+β)、cos(α+β)、tan(α+β)といった形の三角関数を、sinα、cosα、sinβ、cosβなどを使って表現できるというものです。

この定理の素晴らしい点は、複雑な角度の三角関数を既知の角度の三角関数に分解できることにあります。例えば、sin75°を求める場合、直接計算するのは難しいですが、75°を45°+30°と考えれば、加法定理を使ってsin45°とsin30°、cos45°とcos30°の値から求めることができます。

東京大学や京都大学などの難関大学の入試問題でも、加法定理は基礎となる知識として扱われます。河合塾や駿台予備学校の講師も、「加法定理を理解していなければ、三角関数の問題は解けない」と口を揃えて言うほど、重要な位置づけとなっています。

さらに、加法定理は単なる公式の暗記ではなく、三角関数の性質を深く理解するための入り口でもあります。この定理から2倍角の公式、半角の公式、積和の公式など、多くの重要公式が導き出されるため、数学の体系的な理解につながる重要なテーマなのです。

なぜ加法定理が重要なのか

加法定理の重要性は、その応用範囲の広さにあります。高校数学だけでなく、物理学、工学、情報科学など、さまざまな分野で活用される基礎理論となっています。特に波動現象を扱う際には、加法定理なしには計算が成り立たないといっても過言ではありません。

大学入試の観点から見ると、加法定理に関連する問題は毎年必ずといっていいほど出題されます。早稲田大学理工学部、慶應義塾大学理工学部、東京工業大学など、理系学部を持つ大学では特に頻出です。河合塾の全統記述模試や駿台全国模試でも、加法定理を活用する問題が定番となっています。

また、加法定理を使いこなせるかどうかで、三角関数全体の理解度が測れるとも言われています。この定理を理解していれば、複雑に見える三角関数の問題も、基本的な角度の組み合わせとして捉えることができ、解法の糸口が見えてきます。代々木ゼミナールの講師も、「加法定理は三角関数の要」と表現しています。

実際の問題演習では、加法定理を直接使う問題だけでなく、間接的に加法定理の考え方を応用する問題も多く出題されます。そのため、公式を丸暗記するだけでなく、その本質を理解することが求められるのです。

三角関数との関係性

加法定理は、三角関数の持つ周期性と対称性という本質的な性質から自然に導かれる定理です。三角関数は単位円上の点の座標として定義され、角度を変化させたときの座標の変化を表します。加法定理は、この座標の回転や合成を数式で表現したものと考えることができます。

特に重要なのは、加法定理が三角関数の線形性を示している点です。つまり、角度の和や差が、個々の角度の三角関数の組み合わせで表現できるという性質です。この性質により、複雑な波形を単純な波形の重ね合わせとして理解することが可能になります。

また、加法定理を学ぶことで、sin、cos、tanという三つの三角関数が互いに密接に関連していることも理解できます。例えば、tanの加法定理はsinとcosの加法定理から導出できますし、sinとcosの関係式（sin²θ+cos²θ=1）も加法定理の証明や応用で頻繁に使われます。

東京理科大学や明治大学などの数学科では、1年次の微積分や線形代数の授業で、加法定理をより一般化した形で学びます。このように、加法定理は高校数学と大学数学をつなぐ橋渡しの役割も果たしているのです。

加法定理の公式を理解しよう

ここでは、加法定理の基本公式を一つずつ丁寧に見ていきます。公式の形を覚えるだけでなく、その構造や特徴を理解することで、忘れにくく、応用も効きやすくなります。それぞれの公式には美しい対称性やパターンがありますので、そこに注目しながら学んでいきましょう。

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sin(α±β)の公式

sinの加法定理の公式は以下の通りです。

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ

sin(α-β) = sinα cosβ – cosα sinβ

この公式の特徴は、sinとcosが交互に現れる点です。α+βのときは「+」、α-βのときは「-」となり、符号の変化もシンプルです。河合塾のテキストでは、この公式を「シンコスコスシン」と覚える語呂合わせが紹介されています。

具体例として、sin75°を計算してみましょう。75°=45°+30°と分解すると、sin75° = sin(45°+30°) = sin45° cos30° + cos45° sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4 となります。このように、特殊角の値を組み合わせて、一見複雑な角度の三角関数も求められるのです。

また、この公式は波の合成を理解する上でも重要です。物理の波動分野では、異なる振動数や位相を持つ波を合成する際に、このsinの加法定理が基礎となります。早稲田大学基幹理工学部や慶應義塾大学理工学部の入試では、物理と数学の融合問題としてこの性質を問う問題が出題されることがあります。

cos(α±β)の公式

cosの加法定理の公式は以下の通りです。

cos(α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ

cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ

cosの公式で注意すべきは、sinの公式と符号が逆になる点です。α+βのときに「-」、α-βのときに「+」となります。この符号の違いは、三角関数の性質（cosが偶関数、sinが奇関数）に由来しています。駿台予備学校の講師は、「コスコスマイナスシンシン、差のときはプラス」という覚え方を推奨しています。

cos105°を求める例を見てみましょう。105°=60°+45°と考えると、cos105° = cos(60°+45°) = cos60° cos45° – sin60° sin45° = (1/2)(√2/2) – (√3/2)(√2/2) = (√2-√6)/4 となります。負の値になることにも注目です。105°は第2象限の角なので、cosの値が負になるのは当然ですね。

cosの加法定理は、ベクトルの内積の計算とも深く関連しています。二つのベクトルのなす角の余弦は、ベクトルの内積を使って表現できますが、その背景にはこの加法定理があるのです。東京工業大学や大阪大学の入試では、ベクトルと三角関数を組み合わせた問題が頻出です。

また、cos(α-β)の公式は、和積の公式を導く際の出発点となります。この公式とcos(α+β)の公式を組み合わせることで、三角関数の積を和に変換する重要な公式が得られるのです。

tan(α±β)の公式

tanの加法定理の公式は以下の通りです。

tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 – tanα tanβ)

tan(α-β) = (tanα – tanβ) / (1 + tanα tanβ)

tanの公式は、sinとcosの公式から導出されます。tan = sin/cos という関係を使い、sinとcosの加法定理を分子と分母に適用し、全体をcosα cosβで割ることで得られます。この過程自体が、三角関数の関係性を理解する良い練習になります。

tanの加法定理の特徴は、分数形式になっている点です。分母に「1 ∓ tanα tanβ」という形が現れることに注意が必要です。α+βのときは分母が「1-tanα tanβ」、α-βのときは「1+tanα tanβ」となり、符号が入れ替わります。代々木ゼミナールのテキストでは、「分子は素直、分母は逆」という覚え方が紹介されています。

例えば、tan75°を求めてみましょう。75°=45°+30°として、tan75° = (tan45° + tan30°) / (1 – tan45° tan30°) = (1 + 1/√3) / (1 – 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 – 1) です。さらに分母を有理化すると、2+√3という美しい値が得られます。

tanの加法定理は、直線の傾きや角度を扱う問題で特に威力を発揮します。座標平面上で二つの直線がなす角を求める際、それぞれの直線の傾きをtanで表現し、この公式を適用することで答えが導けます。東京大学や京都大学の入試では、図形と三角関数を絡めた問題でこの考え方がよく使われます。

公式の覚え方のコツ

加法定理の公式を確実に記憶するには、パターンと語呂合わせを組み合わせるのが効果的です。まず、sin、cos、tanの順に学ぶのではなく、sinとcosを対比しながら覚えると、符号の違いが理解しやすくなります。

公式	α+β	α-β	覚え方のポイント
sin	sinα cosβ + cosα sinβ	sinα cosβ – cosα sinβ	素直な符号（+は+、-は-）
cos	cosα cosβ – sinα sinβ	cosα cosβ + sinα sinβ	逆の符号（+は-、-は+）
tan	(tanα+tanβ)/(1-tanα tanβ)	(tanα-tanβ)/(1+tanα tanβ)	分母が逆の符号

この表を見ると、sinは素直、cosは逆、tan分母も逆というパターンが見えてきます。河合塾の人気講師は、「サインはストレート、コサインはカーブ」という比喩で説明しています。

また、実際に手を動かして何度も書いてみることも重要です。東進ハイスクールや武田塾では、公式カードを作って繰り返し確認する学習法を推奨しています。ただ眺めるだけでなく、実際に75°、105°、15°などの値を計算してみることで、公式の使い方が体に染み込んでいきます。

さらに、加法定理の公式は単位円上の点の座標の変換として視覚的に理解することもできます。スタディサプリの動画講義では、アニメーションを使ってこの関係性を直感的に説明しています。視覚的なイメージと数式を結びつけることで、より深い理解と確実な記憶が可能になります。

加法定理の証明方法

加法定理は単なる公式ではなく、三角関数の本質的な性質を表現したものです。そのため、証明の過程を理解することで、公式への理解が格段に深まります。ここでは、代表的な三つの証明方法を紹介します。どの方法も高校数学の範囲で理解できる内容ですので、じっくりと学んでいきましょう。

幾何学的な証明

加法定理の最も直感的な証明は、図形を使った幾何学的アプローチです。この方法では、座標平面上に適切な図形を描き、長さや面積を計算することで公式を導きます。特にcos(α-β)の公式は、この方法で美しく証明できます。

証明の手順は次の通りです。まず、原点を中心とする単位円を描き、x軸の正の方向から角α、βだけ回転した点をそれぞれP、Qとします。点Pの座標は(cosα, sinα)、点Qの座標は(cosβ, sinβ)となります。このとき、線分PQの長さを二通りの方法で表現することで、加法定理が導かれるのです。

一つ目の方法では、座標を使った距離の公式を適用します。PQ² = (cosα-cosβ)² + (sinα-sinβ)² = 2 – 2(cosα cosβ + sinα sinβ) となります。二つ目の方法では、余弦定理を使い、PQ² = 2 – 2cos(α-β) と表現できます。この二つの式を等しいとおくことで、cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ という公式が得られます。

この証明は、駿台予備学校や河合塾の標準的なテキストに掲載されており、多くの高校でも採用されています。図形的な意味を理解しながら公式を導けるため、視覚的に納得しやすいという利点があります。東京大学や京都大学の入試でも、この証明のアイデアを応用した問題が出題されることがあります。

単位円を使った証明

単位円を使った証明は、三角関数の定義に立ち返った方法です。この方法では、回転の合成という考え方を用いて、加法定理を導きます。特にsin(α+β)とcos(α+β)の公式を同時に証明できる点が特徴です。

具体的には、単位円上の点(1, 0)を、まず角αだけ回転させ、次に角βだけ回転させることを考えます。一回目の回転後の座標は(cosα, sinα)です。この点をさらに角βだけ回転させた座標が、最終的な点の位置となります。

回転の座標変換を行列で表現すると、次のようになります。

x’ = x cosβ – y sinβ

y’ = x sinβ + y cosβ

(cosα, sinα)に上の変換を適用すると、x’ = cosα cosβ – sinα sinβ、y’ = sinα cosβ + cosα sinβ となります。一方、角α+βだけ回転した点の座標は(cos(α+β), sin(α+β))ですから、これらを等しいとおくことで、加法定理の公式が得られるのです。

この証明方法は、東京工業大学や早稲田大学理工学部の入試問題で、回転行列と三角関数を絡めた問題の背景知識となっています。また、大学に進学してから学ぶ線形代数や複素数平面の理解にもつながる重要な考え方です。代々木ゼミナールの発展クラスでは、この証明を詳しく扱っています。

オイラーの公式による証明

オイラーの公式を使った証明は、高校数学の範囲を少し超えますが、最もエレガントで美しい証明として知られています。オイラーの公式とは、e^(iθ) = cosθ + i sinθ という関係式で、複素数と三角関数を結びつける重要な公式です。

この公式を使うと、e^(i(α+β)) = e^(iα) × e^(iβ) という指数法則が成り立ちます。左辺を展開すると cos(α+β) + i sin(α+β)、右辺を展開すると (cosα + i sinα)(cosβ + i sinβ) = (cosα cosβ – sinα sinβ) + i(sinα cosβ + cosα sinβ) となります。

実部と虚部をそれぞれ比較することで、cos(α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ と sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ という加法定理の公式が同時に導かれます。この証明の素晴らしさは、指数法則という既知の性質から、三角関数の性質が自然に導かれる点にあります。

オイラーの公式は、東京大学理学部数学科や京都大学理学部、東京工業大学などで1年次に学ぶ複素解析の基礎となります。高校生の段階でこの証明に触れておくことは、大学数学へのスムーズな橋渡しとなるでしょう。Z会の東大コースや駿台の最上位クラスでは、発展的な内容としてこの証明を紹介しています。

これら三つの証明方法を理解することで、加法定理が単なる暗記すべき公式ではなく、数学の体系の中で必然的に成り立つ関係式であることが実感できます。それぞれの証明方法が持つ独自の視点や考え方は、他の数学の問題を解く際にも応用できる貴重な財産となるのです。

加法定理から導かれる重要公式

加法定理は、それ自体が重要であるだけでなく、そこから多くの派生公式を生み出す源泉でもあります。ここでは、加法定理から導かれる代表的な公式を紹介します。これらの公式は、大学入試で頻繁に使用されるため、確実にマスターしておく必要があります。

2倍角の公式

2倍角の公式は、加法定理でα=βとおくことで導かれる公式です。非常に使用頻度が高く、三角関数の問題では必須の知識となります。

sin2α = 2sinα cosα

cos2α = cos²α – sin²α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α

tan2α = 2tanα / (1 – tan²α)

特にcos2αの公式は、三つの異なる形で表現できることに注目です。cos²α – sin²αという基本形から、sin²α + cos²α = 1 という関係式を使って変形することで、残り二つの形が得られます。問題によって使い分けることで、計算が大幅に簡略化できます。

例えば、sin²αやcos²αを含む式を積分する際には、cos2α = 1 – 2sin²α という形に変形して sin²α = (1-cos2α)/2 とすることで、積分が容易になります。これは半角の公式の考え方にもつながります。早稲田大学理工学部や慶應義塾大学理工学部の入試では、積分問題でこの変形がよく使われます。

また、2倍角の公式は物理学の等速円運動や単振動の問題でも頻繁に登場します。角速度ωで回転する物体の位置や速度を表す際、sin2ωtやcos2ωtという形が現れるため、この公式の理解は物理の学習にも直結します。東京工業大学や大阪大学の入試では、数学と物理の融合問題として出題されることがあります。

半角の公式

半角の公式は、2倍角の公式を変形して導かれる公式で、積分計算や三角方程式を解く際に重要な役割を果たします。

sin²(α/2) = (1 – cosα) / 2

cos²(α/2) = (1 + cosα) / 2

tan²(α/2) = (1 – cosα) / (1 + cosα)

これらの公式は、cos2α = 1 – 2sin²α という2倍角の公式で、2αをαに、αをα/2に置き換えることで得られます。つまり、cosα = 1 – 2sin²(α/2) となり、これを変形すると sin²(α/2) = (1-cosα)/2 という半角の公式が導かれるのです。

半角の公式は、特に積分計算で威力を発揮します。∫sin²x dx のような積分は、直接計算することが難しいですが、半角の公式を使って sin²x = (1-cos2x)/2 と変形すれば、簡単に積分できます。河合塾の数学Ⅲのテキストでは、この変形を「積分の基本技」として重点的に扱っています。

また、tan(α/2) = t という置換積分は、有理関数の積分に帰着させる強力な手法として知られています。sinα = 2t/(1+t²)、cosα = (1-t²)/(1+t²) という関係式を使うことで、複雑な三角関数の積分が有理関数の積分に変換できます。東京大学や京都大学の入試では、この技法を応用した問題が出題されることがあります。

積和・和積の公式

積和の公式と和積の公式は、三角関数の積を和に変換したり、和を積に変換したりする公式です。これらは加法定理を足したり引いたりすることで導かれます。

積和の公式

sinα cosβ = {sin(α+β) + sin(α-β)} / 2
cosα sinβ = {sin(α+β) – sin(α-β)} / 2
cosα cosβ = {cos(α+β) + cos(α-β)} / 2
sinα sinβ = -{cos(α+β) – cos(α-β)} / 2

これらの公式は、sin(α+β)とsin(α-β)の加法定理を足したり引いたりすることで導かれます。例えば、sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ と sin(α-β) = sinα cosβ – cosα sinβ を足すと、sin(α+β) + sin(α-β) = 2sinα cosβ となり、これを変形すれば積和の公式が得られます。

和積の公式

sinA + sinB = 2sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}
sinA – sinB = 2cos{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}
cosA + cosB = 2cos{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}
cosA – cosB = -2sin{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}

和積の公式は、積和の公式でα+β=A、α-β=Bとおいて、α=(A+B)/2、β=(A-B)/2と変換することで得られます。一見複雑に見えますが、体系的に導出できることを理解しておけば、暗記の負担が減ります。

これらの公式は、三角方程式を解く際や、三角関数の極限値を求める際に非常に有用です。特に和積の公式を使うと、sinA + sinB のような和の形を積の形に変換できるため、因数分解が可能になります。駿台予備学校のハイレベル数学のテキストでは、これらの公式を駆使した応用問題が多数収録されています。

3倍角の公式

3倍角の公式は、2倍角の公式と加法定理を組み合わせて導かれる公式です。大学入試でも時々出題され、特に高次方程式との関連で重要になります。

sin3α = 3sinα – 4sin³α

cos3α = 4cos³α – 3cosα

tan3α = (3tanα – tan³α) / (1 – 3tan²α)

これらの公式は、3α = 2α + α として加法定理を適用し、2倍角の公式を使って整理することで導かれます。例えば、sin3α = sin(2α+α) = sin2α cosα + cos2α sinα という形から出発し、sin2α = 2sinα cosα、cos2α = 1 – 2sin²α を代入して整理すると、最終的にsinαだけの式が得られます。

3倍角の公式は、3次方程式との関連が深いことで知られています。例えば、x = cosθ とおくと、cos3θ = 4x³ – 3x という関係が成り立ちます。これを使うことで、3次方程式の解を三角関数で表現できる場合があります。この考え方は、カルダノの公式と呼ばれる3次方程式の解の公式とも関連しています。

また、sin3α = 3sinα – 4sin³α という公式から、sinα = t とおくと sin3α = 3t – 4t³ となります。これは、チェビシェフ多項式と呼ばれる重要な多項式の一種で、数値解析や近似理論で重要な役割を果たします。東京大学理学部数学科や京都大学理学部では、2年次以降にこの内容を詳しく学びます。

3倍角の公式を使った問題は、東京大学、京都大学、東京工業大学などの難関大学で出題されることがあります。代々木ゼミナールや河合塾の最上位クラスでは、この公式を使った発展問題が扱われています。高校数学の範囲を少し超える内容ですが、数学的な思考力を鍛える良い題材となるため、余裕がある人はぜひ挑戦してみてください。

加法定理の基本問題と解法

ここからは、加法定理を使った具体的な問題演習に入ります。基本レベルの問題から始めて、徐々に難易度を上げていきます。問題を解く際のポイントや考え方のコツも合わせて解説しますので、実際に手を動かしながら読み進めてください。問題演習を通じて、公式の使い方が自然と身につくはずです。

公式を直接使う問題

最も基本的なタイプは、加法定理の公式を直接適用する問題です。特殊角（0°、30°、45°、60°、90°など）の組み合わせで表される角度の三角関数を求める問題が典型例です。

例題1: sin15°の値を求めよ。

この問題では、15° = 45° – 30° と分解するのがポイントです。すると、sin15° = sin(45°-30°) = sin45° cos30° – cos45° sin30° という形に持ち込めます。特殊角の値を代入すると、sin15° = (√2/2)(√3/2) – (√2/2)(1/2) = (√6-√2)/4 となります。

このタイプの問題を解くコツは、目標とする角度を特殊角の和または差で表現することです。河合塾の基礎シリーズでは、15°、75°、105°、165°などの角度を、どの特殊角の組み合わせで表現できるかを整理した一覧表が提供されています。

例題2: cos75°の値を求めよ。

75° = 45° + 30° または 75° = 120° – 45° という分解が考えられます。前者で計算すると、cos75° = cos(45°+30°) = cos45° cos30° – sin45° sin30° = (√2/2)(√3/2) – (√2/2)(1/2) = (√6-√2)/4 となります。

興味深いことに、sin15° = cos75° という関係が成り立っています。これは、sin(90°-θ) = cosθ という余角の関係から導かれる結果で、三角関数の持つ美しい対称性を示しています。駿台予備学校のテキストでは、このような関係性を見つける練習問題が多数用意されています。

また、tan15°やtan75°を求める問題も頻出です。これらは、tanの加法定理を直接使う方法と、sinとcosの値から求める方法（tan = sin/cos）の二通りのアプローチがあります。どちらの方法でも正解は得られますが、計算のしやすさは問題によって異なるため、両方の方法に習熟しておくことが望ましいです。

角度の工夫が必要な問題

次のレベルは、与えられた角度をどのように分解するかを考える必要がある問題です。特殊角の直接的な組み合わせではない場合、創意工夫が求められます。

例題3: sin(α+45°) + sin(α-45°) を簡単にせよ。

この問題では、それぞれの項に加法定理を適用します。sin(α+45°) = sinα cos45° + cosα sin45° = (sinα + cosα)/√2、同様に sin(α-45°) = (sinα – cosα)/√2 となります。これらを足し合わせると、(2sinα)/√2 = √2 sinα という簡潔な形が得られます。

このタイプの問題では、和または差を取ることで項が消える現象がよく起こります。これは加法定理の符号の性質を利用したもので、問題を見た瞬間に「足したら消えそう」という感覚を持てるようになることが重要です。

例題4: cos(60°+θ) + cos(60°-θ) を簡単にせよ。

加法定理を適用すると、cos(60°+θ) = cos60° cosθ – sin60° sinθ = (cosθ – √3 sinθ)/2 となります。同様に cos(60°-θ) = (cosθ + √3 sinθ)/2 です。これらを足すと、sinθの項が消えて cosθ だけが残ります。

このように、対称的な形の式では、一部の項が相殺されることが多いです。早稲田大学や慶應義塾大学の入試では、この性質を利用した問題がよく出題されます。東進ハイスクールの講座では、このパターンを「対称式の威力」として重点的に扱っています。

式の変形を伴う問題

さらに発展的な問題として、三角関数を含む式を変形して簡単にするタイプがあります。ここでは、加法定理だけでなく、三角関数の基本性質も組み合わせて使う必要があります。

例題5: (sinθ + cosθ)² を展開し、2倍角の公式を使って簡単にせよ。

展開すると、(sinθ + cosθ)² = sin²θ + 2sinθ cosθ + cos²θ となります。ここで、sin²θ + cos²θ = 1 という基本公式と、2sinθ cosθ = sin2θ という2倍角の公式を適用すると、1 + sin2θ という簡潔な形が得られます。

このタイプの問題では、どの公式を使うべきかを見抜く力が試されます。2倍角の公式、半角の公式、加法定理など、複数の公式の中から適切なものを選択する判断力が必要です。駿台予備学校の実戦演習では、このような判断力を養う問題が多数出題されます。

例題6: sinθ + √3 cosθ を a sin(θ+α) の形に変形せよ。ただし、a>0、0≤α<2π とする。

この問題は、三角関数の合成と呼ばれる重要なテクニックです。a sin(θ+α) = a(sinθ cosα + cosθ sinα) = a cosα sinθ + a sinα cosθ という形に展開できます。これが sinθ + √3 cosθ と等しいので、a cosα = 1、a sinα = √3 という連立方程式が得られます。

これを解くと、a² = (a cosα)² + (a sinα)² = 1 + 3 = 4 より a = 2（a>0より）となります。また、tanα = (a sinα)/(a cosα) = √3 より α = π/3 です。したがって、sinθ + √3 cosθ = 2sin(θ+π/3) という変形が得られます。

三角関数の合成は、三角関数を含む方程式や不等式、最大値・最小値問題で頻繁に使われる重要技法です。東京大学、京都大学、一橋大学などの入試では、この技法を使わなければ解けない問題が出題されます。河合塾の完成シリーズや代々木ゼミナールの実戦演習では、この合成のテクニックを徹底的に練習します。

加法定理の応用問題にチャレンジ

ここでは、実際の大学入試で出題された加法定理に関する問題を取り上げます。難関大学の過去問を通じて、加法定理がどのように応用されるのかを学びましょう。これらの問題は単に公式を適用するだけでなく、数学的な洞察力や論理的思考力が求められる良問ばかりです。じっくりと考えながら取り組んでください。

大学入試レベルの問題

大学入試では、加法定理を複数の概念と組み合わせた総合問題として出題されることが多いです。ここでは、典型的な入試問題のパターンを紹介します。

問題1: 0≤θ<2π のとき、方程式 sin2θ + cos2θ = 1 を解け。

この問題は、2倍角の公式を使って変形する必要があります。sin2θ = 2sinθ cosθ、cos2θ = 1 – 2sin²θ を代入すると、2sinθ cosθ + 1 – 2sin²θ = 1 となり、整理すると 2sinθ cosθ – 2sin²θ = 0 が得られます。

因数分解すると、2sinθ(cosθ – sinθ) = 0 となります。したがって、sinθ = 0 または cosθ = sinθ です。sinθ = 0 より θ = 0, π、cosθ = sinθ より tanθ = 1 で θ = π/4, 5π/4 となります。答えは θ = 0, π/4, π, 5π/4 です。

このタイプの問題では、三角方程式を代数方程式に帰着させるという考え方が重要です。2倍角の公式で展開し、因数分解して解くという流れは、多くの大学入試で見られるパターンです。河合塾の全統記述模試でも、このような問題が頻出します。

問題2: 関数 f(θ) = sin²θ + √3 sinθ cosθ + 2cos²θ の最大値と最小値を求めよ。ただし、0≤θ≤π とする。

この問題は、まず三角関数の合成を使って式を簡単にします。sin²θ = (1-cos2θ)/2、cos²θ = (1+cos2θ)/2、sinθ cosθ = sin2θ/2 を使うと、f(θ) = (1-cos2θ)/2 + (√3/2)sin2θ + 2(1+cos2θ)/2 = 3/2 + (3/2)cos2θ + (√3/2)sin2θ となります。

ここで、(√3/2)sin2θ + (3/2)cos2θ を合成すると、√{(√3/2)² + (3/2)²} sin(2θ+α) = √3 sin(2θ+α) の形になります。したがって、f(θ) = 3/2 + √3 sin(2θ+α) です。

sin(2θ+α) の最大値は 1、最小値は -1 なので、f(θ) の最大値は 3/2 + √3、最小値は 3/2 – √3 となります。ただし、0≤θ≤π という範囲の制約があるため、2θ+α の範囲を確認する必要があります。このような定義域の吟味も入試問題では重要なポイントです。

東京大学・京都大学の過去問

東京大学と京都大学の入試問題は、数学の本質的な理解を問う良問として知られています。加法定理に関しても、単なる計算問題ではなく、深い思考を要する問題が出題されます。

東京大学の典型問題: 0<θ<π/2 のとき、sinθ + cosθ = √2 sinα (ただし 0<α<π/2) を満たす α を θ で表せ。また、このとき tanα を求めよ。

この問題は、三角関数の合成を使います。sinθ + cosθ = √2 sin(θ+π/4) という関係を使うと、√2 sin(θ+π/4) = √2 sinα となり、sin(θ+π/4) = sinα が得られます。

0<θ<π/2 のとき π/4<θ+π/4<3π/4、また 0<α<π/2 なので、θ+π/4 と α が第1象限または第2象限にあることを考慮すると、α = θ+π/4 または α = π-(θ+π/4) = 3π/4-θ となります。条件 0<α<π/2 を満たすためには、α = θ+π/4 である必要があります。

tanα = tan(θ+π/4) = (tanθ+tan(π/4))/(1-tanθ tan(π/4)) = (tanθ+1)/(1-tanθ) という形で表せます。このように、東京大学の問題は複数のステップを経て答えに到達する構成になっており、論理的な思考力が試されます。

京都大学の典型問題: cos4θ を cosθ だけで表せ。

この問題は、2倍角の公式を繰り返し適用します。まず、cos4θ = cos(2・2θ) = 2cos²2θ – 1 です。さらに、cos2θ = 2cos²θ – 1 を代入すると、cos4θ = 2(2cos²θ-1)² – 1 となります。

これを展開すると、cos4θ = 2(4cos⁴θ – 4cos²θ + 1) – 1 = 8cos⁴θ – 8cos²θ + 1 という、cosθ の4次式が得られます。このような高次の角の公式は、チェビシェフ多項式と関連しており、数論や近似理論でも重要です。

京都大学の問題は、このように一般化や抽象化を求めることが多く、数学的な深い理解を測る設計になっています。Z会の京大コースでは、このタイプの問題を重点的に扱っています。

早稲田大学・慶應義塾大学の過去問

早稲田大学と慶應義塾大学の理工学部は、計算力と応用力を同時に問う問題が特徴です。加法定理に関しても、実践的な応用問題が多く出題されます。

早稲田大学理工学部の問題: 関数 y = 2sinx + cosx の 0≤x≤2π における最大値、最小値、およびそれらを与える x の値を求めよ。

この問題は、三角関数の合成を使います。2sinx + cosx = √(2²+1²) sin(x+α) = √5 sin(x+α) という形に変形できます。ここで、tanα = 1/2 を満たす α (0<α<π/2) を取ります。

y = √5 sin(x+α) の最大値は √5 (x+α=π/2 のとき)、最小値は -√5 (x+α=3π/2 のとき) です。したがって、最大値 √5 は x=π/2-α のとき、最小値 -√5 は x=3π/2-α のときとなります。tanα = 1/2 から α = arctan(1/2) と表せますが、具体的な値は必要に応じて数値計算します。

慶應義塾大学理工学部の問題: tan(π/8) の値を求めよ。

この問題は、半角の公式を使います。π/8 = π/4 ÷ 2 なので、tan(π/8) = tan(π/4 ÷ 2) です。半角の公式 tan²(α/2) = (1-cosα)/(1+cosα) で α=π/4 とすると、tan²(π/8) = (1-cos(π/4))/(1+cos(π/4)) = (1-√2/2)/(1+√2/2) = (2-√2)/(2+√2) となります。

分母を有理化すると、tan²(π/8) = (2-√2)²/(4-2) = (6-4√2)/2 = 3-2√2 です。tan(π/8) > 0 なので、tan(π/8) = √(3-2√2) = √2 – 1 という美しい値が得られます（最後の等式は (√2-1)² = 3-2√2 から確認できます）。

このように、早慶の問題は計算の正確性と工夫が求められます。代々木ゼミナールや河合塾の早慶対策講座では、このような計算技術を磨く演習が豊富に用意されています。

難関国公立大学の典型問題

東京工業大学、大阪大学、東北大学、名古屋大学などの難関国公立大学でも、加法定理を核とした総合問題が出題されます。これらの大学の問題は、理論と実践のバランスが取れた良問が多いです。

東京工業大学の問題: 方程式 4sin³x – 3sinx = 1/2 を満たす 0≤x<2π の x をすべて求めよ。

この方程式の左辺は、3倍角の公式 sin3x = 3sinx – 4sin³x を変形した形になっています。4sin³x – 3sinx = -sin3x なので、方程式は -sin3x = 1/2、つまり sin3x = -1/2 となります。

sin3x = -1/2 を解くと、3x = 7π/6 + 2nπ または 3x = 11π/6 + 2nπ (n は整数) です。0≤x<2π という範囲で解を求めると、x = 7π/18, 11π/18, 31π/18, 35π/18, 55π/18, 59π/18 の6個の解が得られます。

この問題のように、3倍角の公式を見抜くことが解法の鍵となります。式の形から適切な公式を連想する力は、多くの演習を通じて養われます。駿台予備学校の東工大コースでは、このパターン認識の訓練が重視されています。

大阪大学の問題: 0<θ<π/2 のとき、不等式 sinθ + cosθ > 1 + sinθ cosθ を証明せよ。

この問題は、sinθ + cosθ = t とおく置き換えが有効です。両辺を2乗すると、sin²θ + 2sinθ cosθ + cos²θ = t² より 2sinθ cosθ = t² – 1 となります。したがって、sinθ cosθ = (t²-1)/2 です。

元の不等式は t > 1 + (t²-1)/2、つまり 2t > 2 + t² – 1、整理すると t² – 2t + 1 < 0、すなわち (t-1)² < 0 となります。これは常に成り立たない…と思いきや、実は計算を見直す必要があります。

正しくは、sinθ + cosθ – 1 – sinθ cosθ > 0 を示します。t = sinθ + cosθ とおくと、1 < t ≤ √2 の範囲です（0<θ<π/2 より）。示すべき不等式は t – 1 – (t²-1)/2 > 0、すなわち (2-t)(t-1)/2 > 0 となり、1 < t < 2 で成り立つことがわかります。実際 t ≤ √2 < 2 なので、不等式は成立します。

このように、大阪大学の問題は論理的な証明を求めることが多く、数学的な厳密性が問われます。河合塾の阪大オープンや駿台の阪大実戦模試では、このような証明問題の対策が充実しています。

加法定理を使いこなすための学習法

最後に、加法定理を確実にマスターするための効果的な学習方法を紹介します。公式の暗記だけでなく、理解を深め、応用力を身につけるための具体的なアプローチを解説します。ここで紹介する方法を実践することで、加法定理が得意分野になるはずです。受験生はもちろん、数学をさらに深く学びたいすべての人に役立つ内容です。

効果的な暗記方法

加法定理の公式を確実に記憶するには、理解と反復の両方が必要です。まず、公式の導出過程を一度は自分の手で追ってみることが重要です。単位円を使った証明や幾何学的な証明を実際に紙に書いて確認することで、公式への理解が深まり、記憶が定着しやすくなります。

語呂合わせも有効な記憶術です。例えば、sinの加法定理は「シンコスコスシン」、cosは「コスコスマイナスシンシン」といった覚え方があります。河合塾や駿台予備学校のテキストには、このような記憶を助けるフレーズが多数掲載されています。

また、視覚的なイメージと結びつけることも効果的です。単位円上での角度と座標の関係を図で理解し、その図を頭の中でイメージできるようにします。スタディサプリやN予備校のオンライン講座では、動画教材を使ってこのイメージ作りをサポートしています。

さらに、公式を書いたカードを作成して、毎日確認する習慣をつけるのも有効です。表に公式、裏に導出過程や使用例を書いておくと、理解と記憶を同時に強化できます。東進ハイスクールの高速暗記システムでも、このようなカード方式が採用されています。

重要なのは、単なる丸暗記ではなく、使える知識として定着させることです。公式を見ただけで、どのような場面で使うのか、どう変形すれば他の公式が導けるのかといった関連知識も一緒に思い出せるようにしましょう。

問題演習のポイント

加法定理をマスターするには、段階的な問題演習が不可欠です。まず、教科書や参考書の基本問題から始め、公式を正確に適用する練習をします。この段階では、計算ミスをなくすことと、どの公式を使うべきかを瞬時に判断する力を養うことが目標です。

基本問題に慣れたら、典型問題のパターンを学びます。三角関数の合成、三角方程式の解法、最大値・最小値問題など、入試で頻出するパターンを一つずつマスターしていきます。チャート式数学や青チャートには、これらのパターンが網羅的に掲載されています。

問題を解く際は、なぜその解法を選んだのかを言語化する習慣をつけましょう。「この式の形からは合成が使えそう」「2倍角の公式で次数を下げられる」といった判断の根拠を明確にすることで、応用力が身につきます。代々木ゼミナールの講師は、「解法の選択理由を説明できるようになることが、数学力の証」と述べています。

また、間違えた問題を復習するシステムを作ることが重要です。ノートに間違えた問題とその解法をまとめ、定期的に見返すことで、同じミスを繰り返さないようにします。武田塾が推奨する「できない問題だけを繰り返す」方式は、効率的な学習に非常に有効です。

さらに、時間を計って問題を解く練習も必要です。入試本番では、限られた時間内で正確に解くことが求められます。河合塾の全統記述模試や駿台全国模試を受験し、実戦的な時間感覚を養いましょう。模試の復習も忘れずに行い、自分の弱点を把握して補強することが大切です。

予備校・塾での学習アドバイス

予備校や塾を活用する際は、自分の学習スタイルとレベルに合った環境を選ぶことが大切です。大手予備校である河合塾、駿台予備学校、代々木ゼミナールは、それぞれ特徴があります。

河合塾は、基礎から応用まで段階的に学べるカリキュラムが特徴です。全統模試との連動性が高く、模試の結果を踏まえた学習計画が立てやすいです。特に「トップレベル数学」コースでは、加法定理を含む三角関数の深い理解を目指した授業が展開されます。

駿台予備学校は、理系に強く、特に難関大学対策に定評があります。講師陣のレベルが高く、加法定理の本質的な理解を促す授業が特徴です。「スーパー数学」コースでは、東大・京大・医学部レベルの問題を扱います。

代々木ゼミナールは、個性的な講師陣による分かりやすい授業が魅力です。特にサテライン授業では、人気講師の授業を全国どこでも受講できます。加法定理の覚え方や解法のコツを、独自の切り口で解説してくれます。

東進ハイスクールは、映像授業を中心とした個別学習が特徴です。自分のペースで繰り返し学習でき、苦手な部分を集中的に克服できます。志田晶先生や長岡恭史先生など、三角関数の授業に定評のある講師の講座がおすすめです。

個別指導塾では、自分の理解度に合わせた細やかな指導が受けられます。武田塾は「授業をしない」という独自の方針で、参考書の効率的な使い方を指導してくれます。加法定理の理解が不十分な場合、個別指導で基礎から丁寧に学ぶのも一つの方法です。

どの環境を選ぶにせよ、予習と復習のサイクルを確立することが最も重要です。授業で学んだ内容を、その日のうちに復習し、週末には一週間分をまとめて復習する習慣をつけましょう。また、疑問点はすぐに質問し、あいまいな理解のまま先に進まないことが大切です。

加法定理は、三角関数の学習における最重要テーマの一つです。公式の暗記だけでなく、その意味を深く理解し、多様な問題に応用できる力を養うことで、数学全体の実力向上につながります。この記事で紹介した学習法を参考に、ぜひ加法定理を完全にマスターしてください。

数学の解説

Posted by やさしい数学の先生