三角比（sin・cos・tan）を基礎からわかりやすく解説！定義・値の覚え方・公式まとめ
「sin・cos・tanって何？」「三角比の意味がわからない」と感じている高校生は多いと思います。三角比は高校数学の重要単元で、物理や工学にも広く応用される基礎知識です。
この記事では、三角比（sin・cos・tan）の定義と意味を図形的にわかりやすく解説し、値の覚え方・計算の仕方・よく出る問題パターンまで順を追って説明します。
三角比の定義を正しく理解する
三角比とは、直角三角形の辺の比を角度で表したものです。角度が決まれば辺の比も決まるという性質を利用して、様々な計算に活用します。
sin・cos・tanの定義
直角三角形で、ある角θ（シータ）に対して3辺を以下のように定めます。
- 斜辺：直角の向かい側の最も長い辺
- 対辺：角θの向かい側の辺
- 隣辺：角θに隣接する直角でない辺
これらを使った定義は次のとおりです。
| 三角比 | 定義 | 読み方 |
|---|---|---|
| sin θ | 対辺 ÷ 斜辺 | サイン |
| cos θ | 隣辺 ÷ 斜辺 | コサイン |
| tan θ | 対辺 ÷ 隣辺 | タンジェント |
覚え方として「sin＝高さ/斜辺、cos＝底辺/斜辺、tan＝高さ/底辺」と捉えると、図形的イメージと結びつけやすくなります。
単位円による拡張
直角三角形の定義では角θが0°〜90°に限られますが、単位円（半径1の円）を使うと0°〜360°に拡張できます。単位円上の点 (x, y) に対して cos θ = x、sin θ = y と定義することで、任意の角度の三角比を扱えます。この拡張は三角関数へとつながる重要な考え方です。
tanとsin・cosの関係
tan θ は sin θ と cos θ を使って次のように表せます。
tan θ = sin θ / cos θ
この関係式は三角比の変換でよく使うので必ず覚えましょう。また、sin²θ + cos²θ = 1（ピタゴラスの定理から導かれる基本恒等式）も頻出公式です。
主要な角度の三角比の値を覚える
試験で必須の特別角（30°・45°・60°）の三角比の値は、暗記するより導き方を理解する方が確実です。
30°・60°の三角比（正三角形から導く）
1辺の長さが2の正三角形を半分にすると、角30°・60°・90°の直角三角形ができます。辺の比は 1 : √3 : 2 です。
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 = √3/3 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
「sin30° = 1/2」は頻出です。30°の対辺が1、斜辺が2という正三角形の図を思い浮かべれば自然に導けます。
45°の三角比（正方形から導く）
1辺1の正方形の対角線を引くと、45°・45°・90°の直角三角形ができます。辺の比は 1 : 1 : √2 です。
| 角度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 45° | 1/√2 = √2/2 | 1/√2 = √2/2 | 1 |
「sin45° = cos45° = √2/2、tan45° = 1」はセットで覚えましょう。
0°・90°・180°の値
境界値も入試でよく問われます。単位円を使って確認しましょう。sin0° = 0、cos0° = 1、sin90° = 1、cos90° = 0、sin180° = 0、cos180° = -1 です。tan90° は定義されない（分母が0になる）ことも重要なポイントです。
三角比の基本公式と変換
三角比では覚えるべき基本公式がいくつかあります。公式を使いこなすことで、複雑な問題も解けるようになります。
相互関係の公式
三角比の相互関係を表す公式は3つあります。
- sin²θ + cos²θ = 1
- tan θ = sin θ / cos θ
- 1 + tan²θ = 1/cos²θ
特に1番目は最も重要で、「sinかcosのどちらか一方がわかれば、もう一方も求められる」という場面でよく使います。
補角・余角の公式
角度の変換でよく使うのが補角（90°-θ、180°-θ）の公式です。
- sin(90°-θ) = cos θ
- cos(90°-θ) = sin θ
- sin(180°-θ) = sin θ
- cos(180°-θ) = -cos θ
「90°から引くとsin↔cosが入れ替わる」「180°から引くとsinは変わらずcosは符号が逆」と覚えると混乱しにくいです。
正弦定理・余弦定理への展開
三角比の知識は正弦定理（a/sinA = 2R）と余弦定理（a² = b² + c² – 2bc cosA）へ発展します。これらを使うと、角度や辺の長さを含む応用問題が解けるようになります。三角比の基礎を固めてからこれらの定理に進みましょう。
よく出る問題パターンと解き方
入試・定期テストで頻出の三角比の問題パターンを確認しましょう。問題のタイプを見極めて適切な公式を選べることが大切です。
sinθの値からcosθ・tanθを求める
sinθ = 3/5（0°< θ < 90°）のとき、cosθとtanθを求める問題は頻出です。sin²θ + cos²θ = 1 に代入して cos²θ = 1 – 9/25 = 16/25、cosθ = 4/5（θが第1象限なので正）、tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/(4/5) = 3/4 と求めます。この解法の流れを確実にマスターしましょう。
三角比を使った図形の計量
「高さがわからない三角形の面積を求める」問題で三角比を活用します。三角形の面積公式 S = (1/2)ab sinC（2辺とその挟む角から面積を求める公式）は特に重要です。問題文に角度と2辺の長さが与えられたらこの公式の出番です。
方程式・不等式への応用
「0°≦θ≦180°のとき sin θ = √3/2 を満たす θ を求めよ」という問題は、単位円または三角比の表を使って解きます。sin θ = √3/2 となる角度は θ = 60°と θ = 120°です（180°-60° = 120°）。角度の範囲に注意して答えを出しましょう。
まとめ
三角比（sin・cos・tan）は「直角三角形の辺の比」という定義から出発し、単位円・公式・正弦定理・余弦定理へと発展していく体系的な単元です。まずは定義と特別角の値を確実に身につけ、相互関係の公式を使いこなせるようにしましょう。
問題演習を重ねることで、どのパターンにどの公式を使うべきかが自然とわかるようになります。基礎から丁寧に積み上げていきましょう。