重心の求め方を完全マスター！図形・座標・応用まで丁寧に解説

2026年7月3日

「重心ってどこにあるの？」「三角形の重心はどうやって求めるの？」という疑問を持ったことはありませんか。重心は物理や数学の両方に登場する概念で、理解できると一気に問題が解きやすくなります。

この記事では、中学・高校・大学レベルに合わせて、重心の求め方を基礎からステップアップしながら丁寧に解説します。図形の重心から座標を使った計算、応用問題まで幅広くカバーしているので、ぜひ最後まで読んでみてください。

重心とは何か？基本の考え方

重心を理解するには、まず「重心とはどういう概念なのか」をしっかり押さえることが大切です。物理的な意味と数学的な定義の両面から理解することで、問題を解く力がグッと高まります。

重心の物理的な意味

重心とは、物体の重さが一点に集中していると考えたときの、その点のことです。たとえば、定規を指一本で水平に支えられる点が重心です。この点を支えると、物体全体が傾かずにバランスを保ちます。

日常生活でも重心は活躍しています。スマートフォンを指の上で水平にバランスさせる遊びをしたことがある人もいるかもしれません。あのバランスが取れる一点こそが重心です。

物体の形が均一（密度が一定）であれば、重心は図形の「中心」に近い位置にあります。たとえば、均一な円板の重心は円の中心、均一な長方形の重心は対角線の交点です。

重心を正確に把握しておくと、構造物の設計や力のかかり方の分析にも役立ちます。建築や機械工学の分野では、重心の位置が安定性に直結するため、非常に重要な概念として扱われています。

数学における重心の定義

数学では、重心は各部分の「重さ（面積や質量）」を考慮した平均の位置として定義されます。特に座標平面上では、各点の座標の平均がそのまま重心の座標になります。

たとえば、3点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃) からなる三角形の重心 G の座標は次のようになります。

G = ( (x₁+x₂+x₃)/3 , (y₁+y₂+y₃)/3 )

このシンプルな公式が、多くの問題の出発点になります。「なぜ3で割るの？」という疑問は後のセクションで詳しく説明します。

重心と中心の違い

重心と図形の「中心」は必ずしも同じではありません。均一な形の場合は一致しますが、密度が場所によって異なる場合は、重心が図形の幾何学的中心からずれることがあります。

たとえば、鉄製の板と木製の板を半分ずつ組み合わせた長方形を考えてみましょう。この場合、鉄側の方が重いため、重心は幾何学的中心より鉄側にずれます。

数学の問題では「均一な図形」を前提とすることが多いため、重心＝図形の幾何学的な中心として扱えるケースがほとんどです。ただし、大学レベルの物理や工学では、質量分布を考慮した重心の計算が必要になります。

三角形の五心とは？中学・高校数学の重要ポイントを分かりやすく解説

三角形の重心の求め方

高校数学で最もよく登場するのが、三角形の重心です。座標を使った計算方法と、図形的な性質の両方を理解することで、入試問題にも対応できるようになります。

三角形の重心の公式

三角形の頂点を A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃) とするとき、重心 G の座標は各頂点の x 座標と y 座標の平均になります。

G = ( (x₁+x₂+x₃)/3 , (y₁+y₂+y₃)/3 )

この公式を使えば、三角形の重心はどんな位置にある三角形でも求めることができます。覚え方は「頂点の座標を全部足して3で割る」だけです。

【例題】A(1, 2)、B(5, 4)、C(3, 6) を頂点とする三角形の重心を求めよ。

x 座標：(1+5+3)/3 = 9/3 = 3
y 座標：(2+4+6)/3 = 12/3 = 4
よって、重心 G = (3, 4)

計算自体はとても単純ですが、問題文によっては頂点の一つが「文字」で表されることもあります。そのような場合も同じ公式を使って文字のまま計算し、条件を利用して解けます。

中線と重心の関係（2:1の分点）

三角形の重心には、「各頂点から対辺の中点を結ぶ線分（中線）を2:1に内分する」という重要な性質があります。これは公式と並んで必ず押さえておきたいポイントです。

たとえば、頂点 A から辺 BC の中点 M を結んだ線分 AM を考えると、重心 G は AM を A 側から 2:1 の比率で内分する点になります。

つまり、AG : GM = 2 : 1 が成立します。

この性質は図形の問題や証明問題でよく使われます。「重心は中線の2/3の位置にある」と覚えておくと便利です。また、この性質を知っていると、座標を使わずに図形的に重心の位置を特定することもできます。

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実際に手を動かして確かめる方法

重心の感覚をつかむには、実際に紙で三角形を切り取って試してみるのが一番です。段ボールや厚紙で三角形を作り、鉛筆の先で支えてみましょう。バランスが取れる一点が重心です。

さらに、3つの頂点から対辺の中点に線を引いてみると、3本の中線がすべて一点で交わることが視覚的に確認できます。これが重心の存在を保証する重要な定理です。

家庭や授業での実験として、東京大学の理科系入試でも「図形の重心に関する論述」が過去に出題されており、概念の理解が問われることがあります。公式の丸暗記だけでなく、「なぜそうなるか」を理解することが大切です。

座標を使った重心の求め方

座標平面上での重心の求め方は、三角形だけでなく多角形や点群にも応用できます。ここでは、基本から発展的な内容まで段階的に解説します。

2点・3点の重心（平均の考え方）

重心は「座標の平均」という考え方で統一的に理解できます。2点の場合は中点の公式と同じです。

場合	重心の x 座標	重心の y 座標
2点 A、B	(x₁+x₂)/2	(y₁+y₂)/2
3点 A、B、C	(x₁+x₂+x₃)/3	(y₁+y₂+y₃)/3
n点の場合	(x₁+x₂+…+xₙ)/n	(y₁+y₂+…+yₙ)/n

上の表を見ると、重心は「全ての点の座標を足して点の個数で割る」だけであることがわかります。これは統計の「平均」と同じ発想です。

四角形・多角形の重心の求め方

四角形の重心を求めるときは注意が必要です。4頂点の座標の単純平均では、一般の四角形の重心にはなりません。四角形を2つの三角形に分割し、それぞれの三角形の重心と面積をもとに加重平均を計算する必要があります。

ただし、正方形や長方形など対称性の高い図形では、対角線の交点が重心になるため計算が簡単です。

一般の四角形 ABCD の重心は次の手順で求めます。

対角線 AC で △ABC と △ACD に分ける
△ABC の重心 G₁ と面積 S₁ を求める
△ACD の重心 G₂ と面積 S₂ を求める
全体の重心 G = (S₁・G₁ + S₂・G₂) / (S₁ + S₂) で計算する

この手順はやや複雑ですが、「面積で重み付けした平均」という考え方を押さえると理解しやすくなります。高校では主に三角形の重心が出題されますが、大学入試（特に東京大学・京都大学・早稲田大学などの理系学部）では四角形や複合図形の重心が出題されることもあります。

質点系の重心（物理との融合問題）

質点系の重心は、複数の質点（質量を持つ点）が存在するとき、全体の重さのバランスが取れる点です。物理の授業でも登場し、数学と物理の融合問題としてよく出題されます。

質量 m₁、m₂、m₃ の質点がそれぞれ座標 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃) にあるとき、重心の座標は次のようになります。

G = ( (m₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃) , (m₁y₁+m₂y₂+m₃y₃)/(m₁+m₂+m₃) )

質量がすべて等しい（m₁＝m₂＝m₃）場合は、通常の重心の公式と一致します。物理の力学分野や、センター試験・共通テストでも頻出のテーマです。

積分を使った重心の求め方（大学レベル）

大学の数学や物理では、連続的な物体（板や棒など）の重心を積分で求めます。高校の知識を持っている人なら理解できる内容なので、ぜひチャレンジしてみましょう。

一次元（棒）の重心を積分で求める

長さ L の棒があり、位置 x における線密度（単位長さあたりの質量）が ρ(x) で表されるとします。この棒の重心の x 座標は次の式で求まります。

x̄ = ∫₀ᴸ x・ρ(x) dx / ∫₀ᴸ ρ(x) dx

分母は棒全体の質量、分子は「各位置の質量×その位置の x 座標」の積分です。これは加重平均を積分で表現したものです。

たとえば、密度が均一（ρ(x) = 一定）なら、重心は棒の中央 x = L/2 になります。密度が端に向かって大きくなる場合は、重心がその端の方にずれます。

二次元（板）の重心を積分で求める

均一な密度を持つ平面図形の重心は、次の式で求まります。面積分を使った計算です。

x̄ = (1/S) ∬ x dA 、 ȳ = (1/S) ∬ y dA

ここで S は図形の面積です。積分の範囲は図形の領域全体になります。

たとえば、y = x²（0 ≤ x ≤ 1）と x 軸で囲まれた領域の重心を求める問題は、大学1年の微積分や、東京工業大学・名古屋大学などの入試で出題されることがあります。

パップスの定理との関係

パップスの定理（Pappus’ centroid theorem）は、重心を使って回転体の体積や回転面の面積を求める定理です。大学数学の重要なトピックの一つです。

定理の内容はシンプルです。「平面図形を、その図形の面内にある回転軸の周りに1回転させてできる回転体の体積は、図形の面積 × 重心が描く円の周の長さ（2π × 重心と軸の距離）に等しい」というものです。

この定理を知っていると、複雑な回転体の体積計算が一気に簡単になります。重心の位置さえ求めれば、積分計算をせずに答えが出せる場合があります。大阪大学や東北大学の工学部などで出題実績があります。

重心に関する頻出問題と解き方のコツ

ここでは、実際の入試や定期テストで頻出の重心問題をタイプ別に整理し、解き方のポイントを解説します。どのタイプが出てもあわてずに対処できるよう、パターンを身につけておきましょう。

頂点の一つが文字の場合

問題のパターンとして多いのが、「三角形の重心が特定の点にあるとき、頂点の座標を求めよ」というものです。

【例題】三角形の頂点が A(a, 1)、B(2, 3)、C(4, b) で、重心が G(3, 3) のとき、a と b の値を求めよ。

重心の公式より：
x 座標：(a+2+4)/3 = 3 → a+6 = 9 → a = 3
y 座標：(1+3+b)/3 = 3 → 4+b = 9 → b = 5

解き方は「公式に代入して方程式を作る」だけです。落ち着いて計算すれば確実に解けます。

重心と内分点の組み合わせ問題

重心の「中線を2:1に内分する」性質を使う問題も頻出です。特に、重心と他の特殊点（外心・内心・垂心）を組み合わせる問題は難関大学でよく見られます。

解くためのポイントは次の通りです。

中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）を正確に描く
重心は中線を A 側から 2:1 に内分することを確認する
内分点の公式 P = (n・A + m・B)/(m+n) を活用する

図を丁寧に描くことが、この種の問題を解くうえで最も効果的な戦略です。手を動かして図形の関係を視覚化することで、どの公式を使えばよいかが見えてきます。

面積比を使った重心の問題

重心で三角形を3つに分割すると、それぞれの小三角形の面積が等しい（全体の1/3ずつ）という性質があります。この性質を利用した問題も、センター試験・共通テストや私立大学入試で出題されます。

たとえば、「重心を通る線で三角形を分割したとき、面積比を求めよ」という問題では、この性質を使うと瞬時に答えが出せます。公式を丸暗記するだけでなく、なぜ等積になるのかを理解しておくと、応用問題にも対応できます。

物理の問題における重心の求め方

物理では、力のつり合いや運動の解析において重心が非常に重要な役割を果たします。数学で学んだ重心の概念を物理の問題に応用する方法を解説します。

複合図形の重心を求める

物理でよく登場するのが、2つ以上の図形を組み合わせた物体の重心を求める問題です。基本的な考え方は「面積（または質量）で加重平均を取る」です。

たとえば、長方形に円を組み合わせた図形では次の手順で求めます。

長方形の面積 S₁ と重心 G₁ を求める
円の面積 S₂ と重心 G₂ を求める
全体の重心 x̄ = (S₁・x₁ + S₂・x₂)/(S₁+S₂) で計算する

この方法は「くり抜き」の問題にも応用できます。くり抜いた部分の面積をマイナスとして扱えば、同じ公式が使えます。

重心と力のつり合い

重心を支えると物体はつり合うという原理は、物理の「力のモーメント」と深く関係しています。重心以外の点を支えると、回転モーメントが生じて物体は傾きます。

高校物理（力学）では、てこの原理や剛体のつり合いの問題で重心が登場します。「重心を通る鉛直線上に支点がある」という条件が、つり合いの基本です。この概念は、共通テスト・センター試験の物理分野で毎年のように出題されます。

重心運動の定理

大学物理（力学）では、重心運動の定理が登場します。「物体系全体の重心の運動は、全質量が重心に集中した質点の運動と同じである」という内容です。

これにより、複雑な形の物体でも、重心の位置さえわかれば運動全体を単純な質点の運動として扱えます。ロケットや衛星の軌道計算、爆発後の破片の動きなど、様々な場面で活用されています。

京都大学や東京大学の大学院入試でも頻出のテーマで、この定理を正確に理解していると問題を大幅に簡略化できます。

重心を理解するための学習ステップと参考資料

重心の概念は一度理解すれば応用の幅が広がります。ここでは、学年別の学習ステップと、重心を深く学べる参考書・問題集を紹介します。

学年別の学習ロードマップ

学年	学習内容	使用する単元
中学2・3年	図形の中心・平均の概念	平面図形、資料の活用
高校1・2年	座標での重心の公式	数学Ⅱ：図形と方程式
高校3年・受験	重心の性質・応用問題	数学B：ベクトル、数学Ⅱ
大学1・2年	積分による重心の計算	微積分学・解析力学

上の表を参考に、自分の学年に合ったレベルから始めるのが大切です。中学生のうちに「平均＝重心」という直感を持っておくと、高校以降の学習がとてもスムーズになります。

重心を使いこなすための練習のポイント

重心の問題を解くうえで、特に意識してほしいポイントを3つ挙げます。

図を必ず描く：座標だけで考えるより、図形を視覚化した方が理解が深まります
公式の導出を理解する：丸暗記より「なぜその公式になるか」を理解すると応用力が上がります
物理と数学を連携させる：同じ概念を両方の視点から見ると理解が確実に深まります

この3つを意識しながら問題演習を重ねると、重心の問題が得意になります。特に難関大学を目指す場合は、「証明できる・説明できる」レベルまで理解を深めることが大切です。

まとめ：重心の求め方をマスターしよう

この記事では、重心の基本的な概念から、座標を使った公式、積分による求め方、物理への応用まで幅広く解説しました。

重心は数学・物理の両方で使われる重要な概念です。三角形の重心公式（頂点の座標の平均）を出発点として、面積比・中線の性質・質点系・積分へと応用範囲が広がっていきます。

中学・高校・大学と学年が上がるにつれて問題の難易度は上がりますが、基本の考え方は「重さのバランスが取れる点＝座標の加重平均」というシンプルなものです。

まずは三角形の重心公式をしっかり使いこなせるようにし、次に性質の理解と応用問題への挑戦と、ステップアップしていきましょう。重心を制すれば、図形問題と力学問題の両方で大きなアドバンテージになります。

数学の解説

Posted by やさしい数学の先生